Экзотические системы счисления

Ранее я уже писал о разных популярных и более-менее известных системах счисления: двоичной, троичной, четверичной, вспоминал исторические системы и виды нумерации: древнегреческую, древнерусскую цифирь, древнеримскую и пр. и даже писал о том, как можно с ними играться.

Сейчас я хочу рассказать об экзотических и неожиданных системах счисления.

Конечно же, таких экзотических систем, которые имели и до сих пор имеют реальное применение, гораздо больше, чем может показаться на первый взгляд. Очень часто нестандартные системы счисления возникают из-за особенностей языка. Некоторые системы не просто существовали ранее или существуют сейчас, они продолжают активно применяться в узких технических областях для решения специфических задач.

О восьмеричной системе обычно упоминают как об удобной промежуточной системе между двоичной и шестнадцатеричной, но есть один любопытный факт. Помимо общеизвестного использования в IT, она применялась в культуре коренных американцев — племени юки в Калифорнии. Они считали не по пальцам, а по промежуткам между пальцами, которых на руке восемь (промежутков, а не пальцев ).

Оказывается, одиннадцатеричная (undenary) система нашла внезапное применение в видео-инженерии. Использование такой системы описывается в одном из патентов на передачу цифрового видео. Там для передачи данных по кабелю применяется 11-уровневая амплитудная модуляция. Это позволяет упаковывать информацию в символы с основанием 11, что помогает снизить необходимую частоту передачи и обеспечивает совместимость с существующими стандартами.

Существуют неподтвержденные сведения, что народ пангва в Африке использовал систему с основанием 11.

Двенадцатеричная система – это обычная позиционная система с основанием 12 (дюжина).

В русском языке слово «дюжина» было заимствовано из французского языка (douzaine) или итальянского (dozzina), которые восходят к латинскому duodecim («двенадцать»). В Российской империи слово «дюжина» начало активно использоваться при Петре I. Дюжина — это не просто число, а удобная торговая единица, которая дожила до наших дней благодаря своей математической гибкости. В отличие от «круглого» числа 10, дюжину можно без остатка разделить на 2, 3, 4 и 6, что очень удобно для торговли и комплектации.

Считается, что возникла 12-ричная система в древнем Шумере. Одна из версий происхождения — метод пальцевого счёта, при котором большим пальцем руки отсчитывают фаланги четырёх пальцев (указательного, среднего, безымянного и мизинца). Таким образом, всего получается 12 фаланг. Позже двенадцатеричная система стала использоваться в Ассирии и Вавилоне для деления дня и ночи на 12 равных частей.

Я всё же думаю, что метод счёта по фалангам вторичен. Сначала люди поняли, что 12 – это удобнее, чем 10, а потом уже придумали более-менее удобный метод счёта в пределах дюжины на фалангах одной руки. Яйцо, как известно, было раньше курицы. Но я могу ошибаться :)

Для обозначения чисел в двенадцатеричной системе используют цифры 0123456789AB. Иногда для недостающих цифр применяют другие символы, например T (от англ. ten), D (от лат. decem), X (римское десять), E (от англ. eleven), O (от фр. onze).

В современности двенадцатеричная система в смешанном виде сохраняется в некоторых системах мер (например, в английской: 1 фут = 12 дюймов) и в измерении времени (сутки делятся на два периода по 12 часов, в часе 60 минут, которые легко делятся на 12).

Также элементы двенадцатеричной системы встречаются в быту:

• при сервировке стола — сервизы посуды, как правило, рассчитаны на 12 или 6 (полдюжины) персон. Наборы столовых приборов (ложки, вилки, ножи) тоже традиционно комплектуются по 12. Оттуда же «растут ноги» у фасовки по 12 шт. носовых платков, а также у 12 стульев в мебельном гарнитуре.
• при подсчёте яиц — в большинстве стран мира стандартная упаковка — это 12 яиц, то есть дюжина.
• при фасовке выпечки — печенье, булочки и пирожные часто продаются упаковками по 6 (полдюжины) или 12 штук.
• напитки — в США и Великобритании пиво и другие напитки часто упаковывают в банки по 6, 12 или 24 штуки (2 дюжины).
• канцелярские товары — если помните, карандаши, ручки и фломастеры, а также краски нередко продаются наборами или упаковками по 12, 24, 36 и даже 48 штук.
• в оптовой торговле — в мелком опте считают дюжинами, а если дюжина мала, то используется гросс (англ. gross), который равен дюжине дюжин. А дюжину гроссов называют «масса». То есть своё собственное название имеет не только 12, но и последующие две степени числа (`12^1` дюжина, `12^2=144` гросс, `12^3=1728` масса).

Число 12 часто имело особое значение в мифологии, религии и литературе. Например, в древнегреческой мифологии пантеон состоял из 12 олимпийских богов, Геракл совершил 12 подвигов, а в Библии упоминаются 12 колен Израилевых и 12 пророков.

Ещё немного интересного про двенадцатеричную систему:

• в году 12 месяцев;
• в астрономии и астрологии 12 знаков зодиака и соответственно 12 зодиакальных созвездий;
• 12-ричная система используется в языке чепанг в Непале;
• существуют целые общества (Dozenal Society of America и Great Britain), которые активно продвигают переход на 12-ричную систему как более логичную, чем десятичная;
• недавно была предложена новая математическая концепция «Last Base Mathematics» (LxB), построенная на переменной системе с основанием 12.

Таким образом, дюжина, лежащая в основе двенадцатеричной системы — это не просто абстрактная математическая концепция, но и отражение практических потребностей и культурных традиций разных народов.

В языке Хули папуасов Новой Гвинеи используется пятнадцатеричная система. Например, слово «ngui» означает 15, «ngui ki» — 30 (15×2), а «ngui ngui» — 225 (15×15) .

В 1990-х годах группа инуитских школьников на Аляске изобрела систему счисления Кактовик (Kaktovik). Эта система, основанная на счёте по пальцам рук и ног, имеет основание 20. Её уникальность в том, что цифры были разработаны так, чтобы быть интуитивными для визуального счёта, что значительно повысило успеваемость по математике среди учеников.

Этот пример поразителен тем, что в 2022 году система была включена в стандарт Unicode, что позволяет использовать её на компьютерах и смартфонах. Это не просто экзотика, а ожившая традиция, шагнувшая в цифровую эпоху.

Как я и говорил ранее, упоминание самых невероятных систем счисления можно найти в учебных, занимательных и олимпиадных задачках по математике и информатике. Математика (сложение, вычитание, перевод чисел), заложенная при построении всех позиционных систем счисления, работает везде одинаково, поэтому применение экзотических систем в обучении является идеальным инструментом с точки зрения понимания общих принципов.

Реальное практическое использование каких-то других систем мне неизвестно. Можно, конечно, подумать, какие ещё системы могли бы использоваться для чего-нибудь. Давайте расскажу про семеричную систему.

В русском языке много поговорок и устойчивых выражений, в которых упоминается семёрка:

• Один пашет, семеро руками машут
• Один с сошкой, семеро с ложкой
• Семеро по лавкам сидят
• Семеро одного не ждут
• Семь бед, один ответ
• Семь вёрст - не крюк
• Семь вёрст до небес и всё лесом
• Седьмая вода на киселе
• Семь пядей во лбу
• Семь потов сошло
• Семь раз отмерь, один раз отрежь
• Семь пятниц на неделе
• Семь футов под килем
• Бешеной собаке семь вёрст не крюк
• Милому дружку семь вёрст не околица
• Одним махом семерых побивахом
• За семью морями
• За семью печатями
• Идти семимильными шагами
• У семи нянек дитя без глазу

Такое частое упоминание числа «семь» в русских поговорках — не случайность. Это результат сложного переплетения сразу нескольких глубоких культурных и исторических пластов, а вовсе не случайный выбор.

В большинстве поговорок число «семь» не несёт точного количественного смысла. Оно выступает как условная единица, обозначающая «очень много», «всё» или «слишком».

• «Семеро одного не ждут» — о решении большинством голосов (необязательно ровно семь человек).
• «За семью печатями» — очень надежно скрыто, почти недоступно.
• «Семь потов сошло» — очень устал.

Это делает «семь» удобным инструментом для создания гиперболы, подчёркивающей масштаб или значимость ситуации.

Одна из ключевых причин — возможность того, что в глубокой древности у славян, как и у многих других народов, был распространен счёт семёрками, а не десятками. Многие исследователи полагают, что обилие «семёрок» в языке — это прямой отголосок той далекой эпохи, когда группа из семи предметов воспринималась как законченное множество, аналог нашего «десятка».

Это подтверждается и тем, что сакральное значение числа семь прослеживается у множества древних народов: в Древнем Вавилоне почитали семь планет, у древних евреев оно было связано с клятвой, а у древних семитов — с культом Луны и делением месяца на четыре семидневные фазы. Таким образом, наши поговорки могли сохранить память о той поре, когда «семь» было не просто числом, а мерой «всего».

Второй, и, возможно, самый мощный пласт, — это влияние христианства и более древних мифологических представлений, где число семь стало символом полноты, завершённости и сакральности.

Библейские сюжеты: Сотворение мира за семь дней, седьмой день как день отдыха, семь смертных грехов, семь чинов ангельских — все это закрепило за числом семь ореол святости.

Мифологическая география: Представление о мире как о семи сферах или о расположении «за семью морями» также уходит корнями в древние космогонические мифы, где семь символизировало всю полноту известного мира.

В христианской традиции число семь часто трактуется как соединение божественного совершенства (число 3) и земного, материального порядка (число 4), что делает его идеальным символом гармонии мироздания.

В нумерологии число 7 — это одно из самых глубоких и многогранных чисел. Если коротко, оно символизирует мудрость, самопознание и поиск скрытой истины. Это энергия анализа, интроспекции и интеллектуального одиночества, которое в фольклоре часто трансформировалось в понятие «многого» или «сакрального».

Вот как это число раскрывается в нумерологии:

• Суть числа 7: Искатель и Философ. 7 обращена внутрь себя. Её главный девиз — «Понимание». Главная цель: докопаться до сути, разгадать загадку и постичь основы мироздания.
• Символизм: Семёрка — это число «отшельника» или «учёного», который предпочитает тишину и уединение шумным компаниям. Считается, что она сочетает в себе духовное начало (число 3) и материальный мир (число 4), делая её мостом между небом и землёй.
• Сильные стороны: Аналитический ум и интуиция. Независимость. Честность с собой и другими.
• Теневые стороны: Замкнутость и холодность. Склонность к чрезмерному анализу. Недоверчивость и саркастичность.

В нумерологии число 7 часто трактуют через призму многовековой мифологии. Например, у пифагорейцев оно символизировало удачу и было посвящено Афине — богине мудрости.

Нумерологи говорят, что если число 7 часто встречается в вашем нумерологическом расчёте (например, в дате рождения), это указывает на то, что вам жизненно необходимо время для уединения и размышлений, а ваше призвание — работа, требующая глубокого знания.

Таким образом, нумерологическое значение числа 7 идеально объясняет, почему в культуре оно стало символом всего таинственного, сложного и завершённого. Оно олицетворяет процесс мышления и познания, который лежит в основе многих наших абстрактных представлений о мире.

Существует и очень любопытное, почти научное объяснение. Есть гипотеза, что предпочтение числа семь связано с особенностями человеческой психологии и восприятия. Известный в психологии «закон Миллера» гласит, что объём кратковременной памяти человека ограничен примерно 7-ю единицами информации.

Не исключено, что этот природный предел и определил то, что число «семь» стало для нас синонимом «многого», а не, скажем, «десять» или «девять». Это число находится на границе, которую наше сознание ещё может легко удержать и осмыслить как завершённое множество.

Таким образом, поговорки с «семеркой» — это своеобразный «архив» культуры, в котором запечатлены:

• Религиозный символизм, пришедший из Библии, мифологии и эзотерических практик.
• Функциональная роль числа как гиперболы, обозначающей «очень много».
• Возможно, даже психологические ограничения нашего восприятия.

Хотя и не осталось прямых доказательств о существовании в прошлом семеричной системы счисления, некоторые признаки говорят, что такое вполне могло быть.

Шестидесятеричная систему счисления (с основанием 60) — одна из древнейших и самых влиятельных систем в истории человечества. Мы пользуемся её наследием каждый день, даже не задумываясь.

Это единственная древняя система, которая не исчезла, а органично вписалась в нашу повседневность:

• Время: 1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут.
• Углы и география: 1 градус = 60 угловых минут, 1 минута = 60 угловых секунд.
• Координаты: Широта и долгота на картах записываются в градусах, минутах и секундах.

Система зародилась в Древнем Шумере (территория современного Ирака) около IV тысячелетия до н. э., а позже была подхвачена вавилонянами.

Почему выбрали число 60? Есть три основные теории:

• Астрономическая: Шумеры заметили, что за год Солнце проходит через 12 созвездий (зодиак), а в каждом месяце примерно по 30 дней. 12 × 30 = 360. Число 60 оказалось удобным «золотым сечением» для этих расчетов.
• Математическая (удобство деления): 60 — это высокосоставное число. Это значит, что оно делится без остатка на огромное количество чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Это делает дроби очень простыми. (Для сравнения: 10 делится только на 1, 2, 5, 10).
• Счет на пальцах: Есть гипотеза, что считали не по 10 пальцам, а сгибами на пальцах левой руки (их 12) умножали на количество пальцев правой руки (5). Итого 12 × 5 = 60.

Как это работало у вавилонян? В этом главная хитрость и одновременно сложность для современного человека. У них не было цифры «ноль» (до позднего периода). У них не было десятичной запятой. Но это была позиционная система, значение цифры зависело от её позиции (как у нас: в числе 111 первая единица — сотни, вторая — десятки, третья – единицы), но основание было не 10, а 60.

Пример: запись, которую мы условно переведем как «1 20», могла означать: 1×60+20=80 (если это единицы и 60-ки) или 1×3600+20×60=4800 (если это 60-ки и 3600-ки). Контекст (шла речь о десятках или тысячах) был критически важен. Для чисел от 1 до 59 они использовали привычную десятичную систему (клиньями на глиняных табличках: вертикальный клин — 1, горизонтальный — 10).

Почему она исчезла (как основная)? С приходом эллинизма и Рима математикам понадобилась большая точность в дробях. Вавилонская система была громоздкой для записи больших чисел, а отсутствие нуля создавало путаницу. Её вытеснила индо-арабская десятичная система (с нулем и позиционным принципом по основанию 10), которая была проще для записи любых сколь угодно больших чисел.

Однако астрономы, которые уже рассчитали по ней траектории планет, отказались переучиваться. Они просто взяли вавилонские дробные части (минуты и секунды) и прикрутили их к десятичной системе. Так 60-ричная система сохранилась в измерении времени и углов навсегда.

Сегодняшняя запись времени (например, 2:30:45) — это смешанная система:

• Старшие разряды (часы, дни) — десятичные.
• Младшие разряды (минуты, секунды) — шестидесятеричные.
• Доли секунды — снова десятичные.

Это наследие шумеров, которое пережило все империи и которое мы используем, когда ставим таймер или смотрим на карту.

Кстати, переводить число из десятичной системы в любую другую бОльшую очень легко. Делим в столбик наше число на основание нужной системы счисления, пока делится. Затем записываем остатки от деления задом наперёд. И не забываем конвертировать полученные остатки в «цифры» требуемой системы счисления. В системах с основанием больше 10 в качестве следующих за привычными цифрами 0123456789 обычно используются «цифры» из латинских букв. Как мы помним, в шестнадцатеричной системе для этого задействованы символы ABCDEF. Если задействовать все латинские буквы ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ, то ими можно будет записывать числа до 36-ричной системы включительно.

Например, хотим мы перевести число 2027 из десятичной системы в 27-ричную. Делим `2027:27=75(2` ост`)`, `75:27=2(21` ост`)`, `2:27=0(2` ост`)`. Получили три остатка `2,21,2`. 21 - это цифра L 27-ричной системы. Записываем остатки задом наперёд и получаем `2L2_27`.

• `2027_10 = 2L2_27`

Для систем счисления с основанием >36 десятичные цифры и латинские буквы заканчиваются, поэтому записывать такие числа становится не очень удобно, вернее, непонятно как. Но люди уже подумали над этим и придумали несколько способов записи таких чисел.

Например, рассмотрим, как можно записать число `2027_64`. Считаем остатки: 2027:64=31(43 ост), 31:64=0(31 ост). Записываем их задом наперёд: 31,43. Обычно при записи такого числа эти остатки (десятичные значения цифр) просто пишут в скобках через запятую, а за скобками пишут основание системы:

• `2027_10 = (31,43)_64`

Либо каждый разряд числа пишут в квадратных скобках.

• `2027_10 = [31][43]_64`

Это более-менее принятые и понятные специалистам варианты записи. Но можно придумать и что-то другое. Например, взять за основу кодировку, используемую в Base64.

В ней используется специальный набор из 64 символов: по 26 больших и маленьких латинских букв, 10 обычных цифр и два знака + и /. В этой системе записи 2027 будет выглядеть так:

• `2027_10 = ` fr₆₄

Можно пойти ещё дальше и придумать свою собственную таблицу с блэкджеком и шл..., в которой просто продолжать «генерировать» цифры после Z другими буквами, например, строчными латинскими, греческими, кириллическими и т.п. (китайскими иероглифами )

При помощи таблицы выше можно записывать цифры до 180-ричной системы включительно.

• `2027_10 = (31,43)_64 = V h_64`

Но такая запись скорее всего вызовет путаницу, т.к. много символов выглядят одинаково, хотя с точки зрения компьютера и имеют разные коды. Поэтому применять её можно только в чисто теоретических задачах или шутках. В общем, как мы любим .

Я уже писал о ней ранее на страничке про шифры и кодировки, но не могу не повториться. Это не совсем система счисления, а скорее некий экзотический способ записи чисел.

В XIII веке цистерцианскими монахами был придуман довольно простой способ записывать числа от 1 до 9999. Кодовая таблица представляла собой 4 ряда символов – для единиц, десятков, сотен и тысяч. Символы накладывались друг на друга и таким образом для каждого числа собирался уникальный символ. По факту это получался шифр для кодирования чисел.

Немецкий гуманист Агриппа Неттесгеймский называл такое счисление сверхэлегантным («Notae Elegantissimae») и включил описание этих шифров в свои «Три книги по оккультной философии» (1531). Интерес к данной системе счисления также выказывали масоны, оккультисты и нацисты. «Цистерцианские шифры» были вытеснены арабскими цифрами, поскольку не обеспечивали простоту арифметических действий – попробуйте например выполнить сложение в столбик.

Монахи тогда ещё не знали о нуле, который «придумали» арабы чуть позже. Сейчас мы о нём знаем. И видим, что роль нуля в цистерцианском шифре выполняет вертикальная линия, на которую «навешиваются» остальные штрихи. Так что по факту мы можем использовать этот способ записи для создания самой настоящей 10000-ричной системы. В диапазоне 0-9999 используются цистерцианские цифры, а затем вступает в силу классическая математика любой позиционной системы: сдвиг к следующему разряду будет означать умножение на 10000.

Как видите, мир систем счисления гораздо шире привычных нам десятичной, двоичной и шестнадцатеричной. Их применение простирается от высоких технологий — криптографии и передачи данных — до возрождения культурных традиций в цифровом мире. Эти примеры показывают, что выбор системы счисления — это не просто математическая абстракция, а инструмент, который может быть адаптирован под самые разные нужды человека.