О космических скоростях

Продолжим космический ликбез. Многие задаются вопросом, почему ракета не может улететь в космос со скоростью такси? Сел в ракету и тихонечко со скоростью 80км/ч долетел до орбиты МКС, всего-то 400км. Пять часов – и ты на орбите. Зачем туда лететь на бешеной скорости? Огромные тяжёлые ракеты, десятки тонн топлива, все эти перегрузки, сопротивление атмосферы и т.п. Зачем всё это?

Начнём с гравитации.

Гравитация — это одно основное фундаментальное взаимодействие между телами, имеющими массу. От неё не избавиться, это «верёвка», которая всегда тебя держит, когда ты находишься в поле притяжения какой-то большой массы, и которую нельзя разорвать.

Представим себе, что Земля — это огромный невидимый магнит. В отличие от обычного магнита, она притягивает не железо, а абсолютно всё: нас, воду в океане, Луну и даже свет. Это притяжение и называется гравитацией.

Гравитация работает как очень упругая и толстая резиновая верёвка. Мы привязаны этой верёвкой к Земле. Чтобы оторваться от Земли, надо приложить силу. Но тут главный секрет: верёвка никогда не рвётся. Чем выше мы улетаем, тем слабее она тянет, но тянет всегда. Люди постоянно стремились оторваться из оков родной матушки-Земли, придумывали крылья, летающие машины, воздушные шары и прочее. Но стоило чуть зазеваться - и хоп! - ты уже падаешь. Гравитация всегда тянет вниз.

В какой-то момент у физиков всё же родился гениальный вопрос: «А можно ли улететь так, чтобы верёвка вообще перестала тебя держать?». Оказалось — можно. Но только двумя разными способами. Отсюда и взялись две скорости.

Про ракеты часто говорят неправильно. Мол, набрала первую космическую скорость — и улетела в космос. Неправда. Первая космическая скорость (около 7,8 км/с, а это в 23 раза быстрее пули) нужна, чтобы не улететь в космос, а чтобы гарантированно не упасть обратно на Землю.

Вот как это работает. Ты берёшь камень и бросаешь его горизонтально. Он летит и падает. Чем сильнее бросок, тем дальше улетит камень перед падением. А теперь вообразим, что ты бросил камень со скоростью 7,8 км/с. Он полетит так быстро, что Земля под ним изогнётся быстрее, чем камень упадёт! Камень будет всё время «падать» на горизонт, но горизонт будет постоянно ускользать.

Это называется орбита. Камень (или космическая станция) просто вечно падает вокруг Земли. При падении, как мы знаем, вес становится равным нулю. Поэтому-то на космическом корабле, который летает вокруг Земли, и будет невесомость. Потому что невесомость — это и есть состояние постоянного падения на Землю. И если наш камень не будет тормозиться об атмосферу, то он так и будет вечно «падать». Он вроде как от Земли-то улетел, но она всё равно его держит, не даёт улететь с орбиты.

Поэтому Первая космическая скорость (7,8 км/с) — это не про «улететь», а про «падать мимо». Но чтобы вырваться из плена Земли навсегда, первой космической скорости мало.

Почему именно 7,8? Почему не меньше?

Представь, что ты разогнался на велосипеде и едешь вверх по крутой горке. Если у тебя скорость не очень большая, ты въедешь чуть-чуть, может быть даже до половины, а дальше всё, силёнок не хватит, будешь ехать всё медленнее, медленнее, в конце-концов остановишься и покатишься назад или упадёшь. Гравитация (горка) сильнее тебя.

С Землёй так же. Если ракета летит медленнее 7,8 км/с, гравитация пересилит: она сначала остановит ракету, а потом с огромной силой притянет обратно вниз. Даже 7 км/с — это всего лишь «доехал до середины горки и упал». Орбиты не получится, только суборбитальный полёт (как у первых ракет, которые подпрыгнули над атмосферой и упали назад, не справившись с притяжением).

Но если разогнаться до 7,8, то силы уравниваются: гравитация заставляет ракету заворачивать вокруг планеты, а скорость не даёт упасть, ракета постоянно промахивается и летает по круговой орбите.

Чтобы порвать ту самую «резиновую верёвку» гравитации, нужно набрать вторую космическую скорость — 11,2 км/с.

Почему именно она? Потому что при этой скорости кинетическая энергия (энергия движения) становится больше, чем энергия гравитационного притяжения. Грубо говоря, ты разгоняешься так сильно, что, даже когда верёвка тянет назад изо всех сил, ты всё равно постепенно удаляешься, замедляясь, но прям самую нечувствительную малость. Где-то там далеко, в бесконечности притяжения уже почти не будет, а твоя скорость станет почти нулевой. Но это в бесконечности :) То есть ты улетишь от Земли и, если не захочешь, то и не вернёшься. Силёнок земной гравитации не хватит, чтобы справиться с такой большой скоростью.

Почему же нельзя улететь с Земли на скорости, например, 9 км/с? Потому что 9 км/с — это «ни рыба ни мясо» для физики: ты уже не упадёшь сразу (преодолел 7,8), но и не убежишь навсегда (не достиг 11,2), отлетишь от Земли, крутанёшься и вернёшься.

Что будет с ракетой на 9 км/с? Она улетит очень далеко, но гравитация Земли будет тормозить её, тормозить… И в самой высокой точке траектории (апогее) ракета остановится и полетит обратно, как мячик, брошенный вверх. Она станет временным гостем космоса, но Земля вернёт её обратно. Орбита будет вытянутой, эллиптической.

Рассчитываются эти скорости довольно просто. Начинается всё с основного закона динамики – Второго закона Ньютона. В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе этой материальной точки.

где

• `vec a` — ускорение тела,
• `vec F` — сила, приложенная к телу,
• `m` — масса тела.

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде:

где

• m — масса объекта,
• a — его ускорение,
• G — гравитационная постоянная,
• M — масса планеты,
• R — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью `v` его ускорение равно центростремительному ускорению `v^2/R`. С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью `v_1` приобретает вид:

Отсюда для первой космической скорости следует:

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты `R_0` и высоты над её поверхностью `h`. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде:

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли ⊕ (`h ≈ 0`, `M = 5,97·10^24`кг, `R_0 = 6 371 000 ` м) , `G = 6.67·10^-11` м³·кг⁻¹·с⁻²), получаем, что первая космическая для Земли будет:

Если задать высоту не 0, а побольше, то и получим в среднем 7,8 км/с. С увеличением высоты первая космическая уменьшается. В общем, «сэм-восэм, так гдэ-то (С)».

Вторую космическую скорость определяют по формуле:

То есть:

Смотрим на формулы для определения космических скоростей, и видим, что они зависят от массы и размеров Земли. То есть Первая и Вторая космические – это не прихоть инженеров-ракетчиков, это сама Земля диктует нам, с какой скоростью нам надо от неё улетать, чтобы улететь. Кстати, есть ещё и третья (улететь из Солнечной системы), и четвёртая (улететь из Галактики) скорости, но они пока не актуальны.

И как же быть? Что, космическое такси невозможно?

Давайте посмотрим на самую главную космонавтскую формулу Циолковского

Мы увидим, что помимо скорости в ней есть удельный импульс `I` используемого химического двигателя и «сухая масса» `M_2` ракеты (топливные баки, двигатели, насосы, оболочки и прочих тяжестей), спрятавшаяся за логарифмом. Современные водородно-кислородные двигатели практически достигли максимально возможного удельного импульса (≈4.5 км/с). Имеющиеся в нашем распоряжении конструкции и материалы сжирают до 10% от полной массы, из-за чего по формуле получается, что ракета должна быть тупо огромной и тяжёлой, потому что топлива ей требуется ну прям очень много. Землю не уменьшишь, поэтому надо уменьшать паразитную массу конструкций.

Существенно понизить вклад «сухой массы» можно применяя многоступенчатые ракеты, которые сбрасывают отработавшие ступени и тем самым избавляются от «лишнего веса». Это старый проверенный способ, но, к сожалению, достаточно дорогой. До орбиты добирается и соответственно возвращается назад лишь мааааленькая часть от всей ракеты, остальное тупо пропадает.

В общем, на такси до орбиты пока не доедешь, хотя вроде бы и недалеко. Ехать медленно – нужно огромное количество топлива, столько просто не влезет в такси. Да и быстро ехать – всё равно надо много топлива, и снова оно в маленькую ракету не поместится.

Поэтому надо заниматься оптимизацией. Самое перспективное – вместо тяжёлых металлических конструкций и баков применять лёгкие композитные материалы. Это существенно снизит отношение масс под логарифмом в формуле Циолковского, что позволит отказаться от многоступенчатости в пользу многоразовых одноступенчатых ракет. Это уже совсем другой коленкор, такие ракеты будут в разы, если не на порядки дешевле. И пускай это будут не такси, а автобусы, но делать их можно будет много, и ездить они будут чаще. «Вот тут-то мне и попёрло…»

Если же мы уже выбрались из оков Земли на орбиту и стоит задача лететь, например, на Луну, на Марс или ещё дальше, то тут уже появляются больше вариантов. Можно и двигатели использовать не химические, а ионные или ядерные. И двигаться не с постоянной скоростью, а с ускорением, использовать гравитационные манёвры и кучу других ништяков. О них я порассуждаю в следующий раз :)