Topologie I

R. Vogt M"arz 1995

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1 Topologische R"aume Topologie ist Stetigkeitsgeometrie, d.h. sie untersucht Eigenschaften geometrischer Gebilde, die unter bijektiven umkehrbar stetigen Abbildung erhalten bleiben. Eine solche Eigenschaft ist etwa, zusammenh"angend zu sein, w"ahrend L"angen und Volumina unter allgemeinen stetigen Abbildungen nicht erhalten bleiben.

Ausgehend vom Stetigkeitsbegriff der Analysis wollen wir die Definition eines topologischen Raumes erarbeiten. Wir erinnern:

1.1 Sei M ae R. Eine Funktion f : M ! R heisst stetig in a 2 M , wenn es zu jedem " ? 0 ein ffi ? 0 gibt, so dass jf (x) \Gamma  f (a)j ! " f"ur alle x 2 M mit jx \Gamma  aj ! ffi:

Die Menge fx 2 R; jx \Gamma  aj ! ffig besteht aus allen Punkten von R, die von a einen Abstand kleiner als ffi haben. Sie wird ffi-Umgebung von a genannt und mit Uffi(a) bezeichnet. Stetigkeit k"onnen wir also definieren, sobald wir einen Abstandsbegriff haben. Mengen, auf denen ein Abstandsbegriff definiert ist, heissen metrische R"aume.

1.2 Definition: Ein metrischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Abbildung d : X \Theta  X ! R, genannt Metrik oder Abstandsfunktion, so dass f"ur x; y; z 2 X stets gilt

(i) d(x; y) = 0 () x = y (ii) d(x; y) = d(y; x) (iii) d(x; y) ^ d(x; z) + d(z; y)

Erl"auterung: Die drei Axiome geben Bedingungen an, die wir von einem vern"unftigen Abstandsbegriff erwarten: Ist der Abstand zweier Punkte Null, so sind die Punkte gleich. Der Abstand von x zu y ist derselbe, wie der von y zu x: Das dritte Axiom, genannt Dreiecksungleichung, ist am besten durch folgendes Bild erkl"art:

x

y

z

Eine ffi-Umgebung von a ist dann Uffi(a) = fx 2 X; d(x; a) ! ffig Selbstverst"andlich kann ein Abstand nur positive Werte haben:

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1.3 Ist d : X \Theta  X ! R eine Metrik auf X, so gilt d(x; y) * 0 f"ur alle x; y 2 X: Beweis: 0 = d(x; x) ^ d(x; y) + d(y; x) = 2d(x; y): 2 1.4 Beispiele:

1. Auf Rn = f(x1; : : : ; xn); xi 2 Rg benutzt man meist eine der folgenden drei

Metriken: Sei x = (x1; : : : ; xn); y = (y1; : : : ; yn)

(i) d2(x; y) = p(x1 \Gamma  y1)2 + \Delta  \Delta  \Delta  + (xn \Gamma  yn)2 (euklidische Metrik) (ii) d1(x; y) = jx1 \Gamma  y1j + \Delta  \Delta  \Delta  + jxn \Gamma  ynj (L1-Metrik) (iii) d1(x; y) = maxfjxi \Gamma  yij; i = 1; : : : ; ng (Maximummetrik)