Skript Finite-Elemente-Methode Eine Einf"uhrung f"ur Ingenieurstudenten Michael Jung Technische Universit"at Chemnitz-Zwickau Ulrich Langer Johannes-Kepler Universit"at Linz Autorenadresse: Dr. rer. nat. Michael Jung Technische Universit"at Chemnitz-Zwickau Fakult"at f"ur Mathematik D - 09107 Chemnitz Prof. Dr. rer. nat. habil. Ulrich Langer (O. Univ.-Professor) Johannes-Kepler Universit"at Linz Technisch-Naturwissenschaftliche Fakult"at Institut f"ur Mathematik Ordinariat "Numerische Mathematik" Altenberger Strasse 69 A - 4040 Linz / "Osterreich Vorwort Das vorliegende Skript entstand auf der Grundlage einer Vorlesung zum Thema "Numerik partieller Differentialgleichungen", welche die Autoren in den letzten Jahren f"ur Ingenieurstudenten gehalten haben. Das Skript ist als eine Einf"uhrung in die numerische L"osung partieller Differentialgleichungen gedacht. Ein derartiges Skript kann nat"urlich nicht eine umfassende Darlegung aller bekannten Diskretisierungsmethoden beinhalten. Wir haben uns auf die Beschreibung der Finite-Elemente-Methode (FEM) konzentriert, da diese die wohl am h"aufigsten genutzte Methode in Ingenieuranwendungen ist. Unser Ziel besteht darin, anhand von Beispielen den gesamten Prozess vom Aufstellen des mathematischen Modells einer physikalischen Erscheinung bis zur Computerrealisierung zu erl"autern. Im ersten Kapitel beschreiben wir verschiedene physikalische Sachverhalte, welche durch partielle Differentialgleichungen modelliert werden k"onnen. Mit der Auswahl von Problemen aus der Thermodynamik, der Elektrostatik und der Festk"orpermechanik soll dem Leser verdeutlicht werden, dass in vielen Anwendungsgebieten partielle Differentialgleichungen bei der Modellierung entstehen. W"ahrend im ersten Kapitel verschiedene physikalische Erscheinungen und ihre mathematische Formulierung nur zusammenfassend dargelegt sind, wird im zweiten Kapitel der Weg von der physikalischen Erscheinung zum mathematischen Modell anhand der station"aren und der instation"aren W"armeleitung ausf"uhrlich beschrieben. Die hergeleiteten Differentialgleichungen dienen in den folgenden Kapiteln als Modellbeispiele bei der Beschreibung der Finite-Elemente-Methode. Um einen ersten Einstieg in die Idee von Diskretisierungsverfahren zu erhalten, wird im Kapitel 3 die Finite-Elemente-Methode f"ur eindimensionale Probleme erl"autert. Dabei beschreiben wir ausgehend von der W"armeleitgleichung in differentieller Form alle Schritte, die bei einer Finite-Elemente-Diskretisierung erforderlich sind, d.h. den" Ubergang zur verallgemeinerten Formulierung, die Diskretisierung des Gebietes, die Wahl der Ansatzfunktionen, den Aufbau des Finite-Elemente-Gleichungssystems, die L"osung dieser Gleichungssysteme und Fehlerabsch"atzungen. Das Kapitel 4 ist der Finite-Elemente-Methode f"ur Randwertprobleme in mehrdimensionalen Gebieten gewidmet. Zun"achst beschreiben wir allgemein das Ritz- und das Galerkin-Verfahren als m"ogliche Diskretisierungsverfahren. Anschliessend wird die Finite-Elemente-Methode als spezielles Ritz-Galerkin-Verfahren erl"autert. Wir beschr"anken uns im wesentlichen auf Diskretisierungen mit linearen Dreieckselementen. Dabei werden aber die Teilschritte der Finite-Elemente-Diskretisierung so dargelegt, dass sie leicht auf Diskretisierungen mit anderen Elementtypen "ubertragen werden k"onnen. Da jede Finite-Elemente-Diskretisierung letztendlich auf ein im allgemeinen grossdimensioniertes lineares Gleichungssystem f"uhrt, haben wir einen Schwerpunkt auf die 4 Diskussion verschiedener Aufl"osungsmethoden gelegt. Mit dem Kapitel 5 geben wir einen "Uberblick "uber verschiedene M"oglichkeiten zur L"osung grossdimensionierter Gleichungssysteme. Wir beschreiben die Algorithmen klassischer direkter Verfahren, klassischer iterativer Verfahren sowie moderner iterativer Verfahren und zeigen ihre Vorteile und Nachteile auf. Abschliessend werden im sechsten Kapitel Diskretisierungsmethoden f"ur parabolische Differentialgleichungen kurz erl"autert. Wir m"ochten uns bei unseren Kollegen Herrn Dr. B. Heise, Herrn Dr. W. Queck, Frau Dr. B. Weber, Herrn Dipl.-Math. T. Steidten und Herrn Dipl.-Math. A. Vogel f"ur die Unterst"utzung bei der Aufbereitung von Beispielen und f"ur zahlreiche Hinweise bez"uglich der Gestaltung des Skripts bedanken. Chemnitz, Januar 1995 Liste verwendeter Bezeichnungen [a; b] abgeschlossenes Intervall (a; b) offenes Intervall \Omega m-dimensionales Gebiet (m = 1; 2; 3) \Gamma = @\Omega Rand des Gebietes \Omega \Omega abgeschlossenes Gebiet \Omega (\Omega = @\Omega [ \Omega ) \Gamma 1 Randst"uck mit Randbedingungen 1. Art \Gamma 2 Randst"uck mit Randbedingungen 2. Art \Gamma 3 Randst"uck mit Randbedingungen 3. Art \Gamma i abgeschlossenes Randst"uck \Gamma i, i = 1; 2; 3 Th Triangularisierung des Gebietes \Omega ffi(r) ein Element (Dreieck) der Triangularisierung \Delta Referenzdreieck_ Nh Anzahl der Knoten in der Vernetzung Th Nh Anzahl der Knoten, die in \Omega [ \Gamma 2 [ \Gamma 3 liegen !h Indexmenge, welche die Nummern aller Knoten enth"alt !h Indexmenge, welche die Nummern der Knoten in \Omega [ \Gamma 2 [ \Gamma 3 enth"alt flh Indexmenge, welche die Nummern der Knoten auf \Gamma 1 enth"alt Rn Raum der Vektoren mit n Komponenten C[a; b] Menge der im Intervall [a; b] stetigen Funktionen C(a; b) Menge der im Intervall (a; b) stetigen Funktionen Ck[a; b] Menge der im Intervall [a; b] k-mal stetig differenzierbaren Funktionen Ck(a; b) Menge der im Intervall (a; b) k-mal stetig differenzierbaren Funktionen C(\Omega ) Menge der in \Omega stetigen Funktionen C(\Omega ) Menge der in \Omega stetigen Funktionen Ck(\Omega ) Menge der in \Omega k-mal stetig differenzierbaren Funktionen Ck(\Omega ) Menge der in \Omega k-mal stetig differenzierbaren Funktionen L2(a; b) Menge der "uber dem Intervall (a; b) quadratisch integrierbaren Funktionen L2(\Omega ) Menge der "uber \Omega quadratisch integrierbaren Funktionen H1(a; b) Menge der L2-Funktionen, deren erste verallgemeinerte Ableitung existiert und ebenfalls Element des Raumes L2(a; b) ist H1(\Omega ) Menge der L2-Funktionen, deren erste verallgemeinerte Ableitungen existieren und ebenfalls Element des Raumes L2(\Omega ) sind 6 V Menge der Grundfunktionen Vg Menge der Funktionen aus V , welche die Randbedingungen 1. Art erf"ullen V0 Menge der Funktionen aus V , welche auf dem Randst"uck \Gamma 1 gleich Null sind Vh Menge der Finite-Elemente-(FE-)Ansatzfunktionen Vg1h Menge der Funktionen aus Vh, welche die Randbedingungen 1. Art (n"aherungsweise) erf"ullen V0h Menge der Funktionen aus Vh, welche auf dem Randst"uck \Gamma 1 gleich Null sind a(:; :) Bilinearform hF; :i Linearform (rechte Seite) v ein Element eines Funktionenraumes v ein Element des Rn u exakte L"osung eines Randwertproblems uh FE-N"aherungsl"osung @v @xi (verallgemeinerte) Ableitung der Funktion v nach xi