E i n f "u h r u n g

in die Theorie der Minimalfl"achen

Sommersemester 1998

Prof. Dr. E. Kuwert Mathematisches Institut

Universit"at Freiburg

Zusammenfassung Die vorliegende Vorlesung wurde im Sommersemester 1998 vornehmlich f"ur Studenten und Studentinnen des 4. bzw. 6. Fachsemesters gehalten. Sie befasst sich aussschliesslich mit der Theorie zweidimensionaler, parametrisierter Minimalfl"achen in IR3. Dieser Ausschnitt der Theorie der Minimalfl"achen erschien besonders geeignet, weil er keine Vorkenntnisse in partiellen Differentialgleichungen und Masstheorie erfordert, schnell zu interessanten, globalen Fragestellungen f"uhrt und nicht zuletzt die klassische Funktionentheorie weiterf"uhrt oder anwendet.

Aufgrund der unterschiedlichen Voraussetzungen begann die Vorlesung mit komplexer Analysis, wobei auf den Integralsatz von Cauchy bewusst verzichtet wurde. Das Zentrum bildet dann die L"osung des Plateauschen Problems nach Douglas bzw. Courant. Hier werden auch einige schwierige Fragen andiskutiert. Im letzten Kapitel wird die Weierstrassdarstellung hergeleitet. Leider konnte aus Zeitgr"unden nicht systematisch auf die in letzte 15 Jahren neu gefundenen Beispiele eingegangen werden.

Die Vorlesung konzentriert sich ganz auf einen Aspekt der Theorie. Es wird empfohlen, sich z. B. in [13] einen "Uberblick zu verschaffen.

Ich bedanke mich bei Frau L. Frei und Herrn W. B"urger f"ur die exzellente Gestaltung des Textes und der Bilder.

Inhaltsverzeichnis Einleitung: Die Gleichung 1 1 Grundlagen der komplexen Analysis 8

1.1 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Das Dirichletproblem f"ur den Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Das Plateausche Problem 31

2.1 Konstruktion der L"osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Regularit"ats-Eigenschaften der L"osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Globale Eigenschaften der L"osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Geometrie und Beispiele von Minimalfl"achen 56

3.1 Geometrische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Die Weierstrassdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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Einleitung: Die Gleichung Eine Fl"ache im dreidimensionalen Raum k"onnen wir durch eine Abbildung f eines zweidimensionalen Parametergebiets \Omega  in den IR3 beschreiben. Dabei nehmen wir stets an, dass f wenigstens einmal stetig differenzierbar ist. Neben dieser analytischen Regularit"at ist ausserdem eine geometrische Bedingung zu stellen, denn wir werden zum Beispiel eine konstante Abbildung nicht als geeignete Fl"ache ansehen.

Definition Eine Abbildung f 2 C1(\Omega ; IR3), \Omega  ae IR2 offen, heisst in z0 2 \Omega  (geometrisch) regul"ar, falls gilt:

rang df (z0) = 2 , f @f@x (z0); @f@y (z0)g linear unabh"angig. Die Abbildung f heisst Immersion, falls sie in allen z0 2 \Omega  regul"ar ist.