GEOMETRISCHE STRUKTUREN VORLESUNG IM SOMMERSEMESTER 1997

an der Eberhard-Karls-Universit"at T"ubingen

Richard B"odi

   

Inhalt 1. Inzidenzstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Endliche Inzidenzstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Maximale Untergeometrien projektiver Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Zentrale Kollineationen projektiver Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6. (A, z)-Transitivit"at und Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

            

Kapitel 1: Inzidenzstrukturen 1 KAPITEL 1 Inzidenzstrukturen

(1.1) Einf"uhrende Beispiele. (a) Die reelle affine (euklidische) Ebene A2R besteht aus

(1) einer Menge P von Punkten, die durch Paare reeller Zahlen gegeben sind, also

P = R2, (2) einer Menge L von Geraden, die durch eindimensionale affine Teilr"aume von R2

gegeben sind, also L = l^u + vR r'r' u 2 R2, v 2 R2 \ {0}l/, (3) einer Vorschrift I, die festlegt, welche Punkte auf welchen Geraden liegen; in

diesem Fall ist I = 2.

Das Tripel A2R = (P, L, I) ist ein Beispiel f"ur eine Inzidenzstruktur. In A2R liegen je zwei verschiedene Punkte auf genau einer Geraden. Aber nicht alle Geraden schneiden sich; es gibt (eindeutige) Parallelen.

(b) Die reelle projektive Ebene P2R = (P, L, I) kann wie folgt definiert werden:

(1) P = l^p < R3 r'r' dim p = 1l/, (2) L = l^L < R3 r'r' dim L = 2l/, (3) I = !.

In P2R liegen je zwei verschiedene Punkte auf genau einer Geraden und alle Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Dieses wird Dualit"atsprinzip genannt.

(c) Die reelle hyperbolische Ebene H2R = (P, L, I) l"asst sich als Teilgeometrie von A2R wie folgt auffassen: