Differenzenapproximation partieller Differentialgleichungen

H.-J. Reinhardty

WS 1996/97 y Fachbereich Mathematik Universit"at - Gesamthochschule Siegen

H"olderlinstr. 3, 57068 Siegen E-Mail: hjreinhardt@numerik.math.uni-siegen.de

Vorwort Das vorliegende Skriptum ist aus einer Vorlesung entstanden, die der Autor zweimal -- zuletzt im WS 96/97 -- an der Univ.-GH Siegen gehalten hat. Zu der Vorlesung wurden theoretische und praktische "Ubungen gestellt. Die "Ubungsaufgaben finden sich im Anhang A; Musterl"osungen der praktischen Aufgaben sind im Anhang B zusammengestellt.

Seinem verehrten akademischen Lehrer, Herrn Prof. Dr. F. Stummel, ist der Autor daf"ur zu Dank verpflichtet, Teile eines entsprechenden Skriptums verwenden zu d"urfen.

Dieses Skriptum wurde von Frau M. Beier mit LaTEX erstellt. Herr Dipl.-Math. R. Ansorge hat die "Ubungsaufgaben zusammengestellt und betreut. Herr cand. math. M. Charton war bei der Aufarbeitung der praktischen Aufgaben behilflich. Ihnen und meinen Studenten sei f"ur Ihren Einsatz und Ihre Mitarbeit gedankt.

Siegen, im M"arz 1997 H.-J. Reinhardt

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Vorbemerkungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 Modellbeispiele f"ur Rand- und Anfangswertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : 2

1 Approximation elliptischer Differentialgleichungen 9

1.1 Einfachste Approximation des Laplaceschen Differentialoperators : : : : : : 9 1.2 Approximation in irregul"aren Gittern : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 1.3 Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten : : : : : 19 1.4 Eine verbesserte Differenzenapproximation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 1.5 Randwertprobleme f"ur elliptische Gleichungen mit differentiellen Randbedingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26

2 Elliptische Differentialgleichungen. Maximumprinzip 35

2.1 Diskretes Maximumprinzip : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 2.2 Existenz, Eindeutigkeit und Absch"atzung der L"osungen : : : : : : : : : : : 38 2.3 Konvergenz der Differenzenapproximationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 2.4 Numerische L"osung der diskreten Randwertaufgabe : : : : : : : : : : : : : : 45

3 Elliptische Differentialgleichungen. Hilbertraummethoden 49

3.1 Der diskrete Laplace-Operator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 3.2 Numerische L"osung der approximierenden Gleichungssysteme : : : : : : : : 53 3.3 Eigenwertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56

3.3.1 Schwingende Saite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 3.3.2 Diskrete schwingende Saite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 3.3.3 Schwingende Membran : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 3.3.4 Diskrete schwingende Membran : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

4 Approximation parabolischer Anfangs-Randwertprobleme 63

4.1 Einfachste Approximationen der W"armeleitungsgleichung : : : : : : : : : : 63 4.2 Struktur und L"osung der approximierenden Gleichungssysteme : : : : : : : 66 4.3 Anfangs-Randwertaufgaben unter St"orungen der Anfangswerte : : : : : : : 70 4.4 Verfahren von Crank-Nicolson und von Douglas : : : : : : : : : : : : : : : 73