Approximationstheorie I

Prof. Dr. R. L. Stens Lehrstuhl A f"ur Mathematik Rheinisch-Westf"alische Technische Hochschule Aachen

Templergraben, Aachen

WS 1995/96 Skript: cfl1996, 1997 Hans-Georg Esser, Bungert 1, 52068 Aachen

Hans-Georg.Esser@post.rwth-aachen.de

esser@i2.informatik.rwth-aachen.de WWW: http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/~esser/

Version: 25. M"arz 1997

Inhaltsverzeichnis 1 Approximierbarkeit - Weierstrass-S"atze 3

1.1 Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 S"atze von Bohman-Korovkin und Weierstrass in C[a; b] . . . . . . . . 5 1.3 S"atze von Bohman-Korovkin und Weierstrass in C2ss . . . . . . . . . . 9 1.4 Approximation durch trigonometrische Polynome in Lp2ss . . . . . . . 13 1.5 Fourier-Koeffizienten, Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Approximation durch Polynome in Lp[a; b] (1 ^ p ^ 1) . . . . . . . . 25 1.7 Approximation holomorpher Funktionen durch Polynome . . . . . . . 27 1.8 Approximation durch Splines in C[a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Satz von Banach-Steinhaus 44

2.1 Funktionalanalytische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Das UBP und der Satz von Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Anwendungen von Banach-Steinhaus auf periodische Faltungsintegrale 51

3 Lagrange- und Hermite-Interpolation 57

3.1 Lagrange-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Tschebyscheff-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Normen der Lagrange-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Hermite-Interpolation (osculatory interpolation) . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Der Approximationsprozess von Fej'er-Hermite . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.1 Hermite-Birkhoff-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.2 Mehrdimensionale Lagrange-Interpolation . . . . . . . . . . . 73 3.6 Interpolation durch Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.7 Konvergenz von Spline-Interpolations-Prozessen . . . . . . . . . . . . 78

2 INHALTSVERZEICHNIS 4 Orthogonalentwicklungen 79

4.1 Hilbert-R"aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Orthogonalsysteme im Pr"a-Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3 Fourier-Tschebyscheff-Reihen in C[\Gamma 1; 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5 Die S"atze von Harsiladse-Lozinski 95

5.1 Der Satz von Harsiladse-Lozinski in C2ss und L12ss . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Der Satz von Harsiladse-Lozinski in C[\Gamma 1; 1] . . . . . . . . . . . . . . 101

Vorbemerkung Dieses Skript wurde auf der Grundlage einer Vorlesungsmitschrift aus dem Wintersemester 1995/96 von mir erstellt. Herr Stens, der die Vorlesung gehalten hat, hat mich gebeten, darauf hinzuweisen, dass es sich nicht um ein offizielles Skript des Lehrstuhls handelt. Das Skript wurde also insbesondere nicht von Herrn Stens durchgesehen oder korrigiert. Das Skript ist leider auch nicht ganz vollst"andig: im hinteren Teil fehlen einige (sehr ausf"uhrliche, "technische") Beweise." Uber Hinweise auf eventuelle Fehler w"urde ich mich freuen. Falls jemand die Vorlesung auch geh"ort hat und L"ucken durch eigenen TEX-Code ersetzen kann, w"urde ich dieses Material gerne in das Skript integrieren. Dies gilt genauso f"ur zum Thema passende Seminar-Ausarbeitungen und "aehnliches. Ich hoffe, dass das Skript einigen von Euch eine Hilfe sein kann; ich habe es "ubrigens damals zur Pr"ufungsvorbereitung erstellt. Im World Wide Web liegt das Skript unter der Adresse