Seminar Garben und Garbenkohomologie Sommersemester 1998 Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 Kapitel 1. Pr"agarben und Garben 3 Direkte Limiten 5 Garbenr"aume 7 Garbifizierung (erzeugte Garben) 7 Kapitel 2. Aufl"osungen von Garben 11 Die singul"are Aufl"osung einer konstanten Garbe 13 Die de-Rham Aufl"osung 14 Liften von Schnitten von Garben 17 Weiche und feine Garben 19 Die kanonische feine Aufl"osung 21 Kapitel 3. Garbenkohomologie 23 Azyklische Aufl"osungen und der abstrakte Satz von de-Rham 26 Der Satz von de-Rham 28 Kapitel 4. Klassische Kohomologietheorien 31^ Cech-Kohomologie 32 Kapitel 5. Vektorb"undel und Garben 37 Stiefel-Whitney und Chern-Klassen 41 Anwendungen 46 1 Vorwort Dies sind die Resultate eines Seminars, dass im Sommersemester 1998 stattgefunden hat. Die einzelnen Kapitel wurden von den TeilnehmerInnen Florian Wisser (1.1-1.12), Michael Kunzinger (2.11-2.23), Theresia Eisenk"olbl (3.1-3.8), Johannes Trimmel (Kapitel 4) und Stefan Haller (Kapitel 5) verfasst, wof"ur ich mich vielmals bedanken m"ochte. Ich habe dann die weiteren Punkte erg"anzt, die ich auch im Seminar vorgetragen habe, und alles in eine (halbwegs) einheitliche Form gebracht. Basis f"ur das Seminar war eine Mitschrift eines Teils einer Vorlesung von Prof. P. Michor, die in einigen Punkten durch verschiedene Quellen erg"anzt wurde. Zum Verst"andnis des Textes sind neben den Grundbegriffen der Kategorientheorie vor allem gute Kenntnisse aus algebraischer Topologie n"otig. F"ur einige der Anwendungen sind auch Kenntnisse der Differentialgeometrie erforderlich. Zum Inhalt der einzelnen Kapitel: In Kapitel 1 werden zun"achst die Grundbegriffe (Pr"agarben, Garben und ihre Morphismen) entwickelt. Dann wird die Garbifizierung einer Pr"agarbe, also die Konstruktion der von einer Pr"agarbe erzeugten Garbe ausf"uhrlich besprochen, wobei der n"otige Hintergrund "uber direkte Limiten vollst"andig entwickelt wird. Kapitel 2 besch"aftigt sich mit Aufl"osungen von Garben. Dazu werden zun"achst exakte Sequenzen von Garben besprochen. Als Beispiele von Aufl"osungen werden die singul"are Aufl"osung konstanter Garben und die de-Rham Aufl"osung der konstanten Garbe R auf einer glatten Mannigfaltigkeit besprochen. Dabei wird der n"otige Hintergrund aus der Differentialgeometrie kurz wiederholt. Anschliessend werden Aufl"osungen genauer studiert, die Klassen der weichen und feinen Garben definiert, und die kanonische feine Aufl"osung einer beliebigen Garbe wird konstruiert. In Kapitel 3 wird die Garbenkohomologie definiert und der Satz von de-Rham sowohl in der abstrakten Version (jede azyklische Aufl"osung einer Garbe berechnet die Garbenkohomologie), als auch in der konkreten Version (de-Rham Kohomologie einer glatten Mannigfaltigkeit stimmt mit der singul"aren Kohomologie mit reellen Koeffizienten "uberein) vollst"andig bewiesen.