Differentiale und K"orpererweiterungen

Robert W. Berger Sommersemester 1996

Inhaltsverzeichnis 1 Differentialmoduln 1

Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Existenz der universellen Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Zweiseitige Derivationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Erste Konstruktion der universellen Derivation . . . . . . . . . . 5 Ausdehnung von Derivationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Definitionen und Grundeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 6 Konstruktion der universellen Ausdehnung . . . . . . . . . . . . 10 Vergr"osserung des Konstantenrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Separable und inseparable K"orpererweiterungen 17

Inseparabilit"at einer K"orpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Separable K"orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Beliebige K"orpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Separabilit"at und lineare Disjunktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Separabilit"at bei nicht endlich erzeugten K"orpererweiterungen . . . . 33 Tensorielle Ausdehnung und Separabilit"at . . . . . . . . . . . . . . . 35

Literaturverzeichnis 41 Index 42

Kapitel 1 Differentialmoduln

Definitionen Im folgenden seien P , R kommutative (unit"are) Ringe, ae : P ! R ein (unit"arer) Ringhomomorphismus und M ein (unit"arer) R-Modul. Verm"oge ae fassen wir R als P -Algebra auf. In Anlehnung an die aus der Analysis bekannten Summenund Produktregeln der Differentialrechnung definiert man

Definition 1.1 Eine Derivation (erster Ordnung) von R nach M ist eine Abbildung D : R ! M mit:

1 : D(x + y) = D(x) + D(y) (Summenregel) 2 : D(x \Delta  y) = x \Delta  D(y) + y \Delta  D(x) (Produktregel) ) f"ur alle x; y 2 R

D heisst ae-Derivation oder auch Derivation "uber P (Derivation von R=P ), wenn ausserdem gilt

3. D ffi ae = 0 . Statt D(x) schreiben wir auch einfach Dx. Ist T eine beliebige Teilmenge vom R, so bezeichnen wir mit R DT den von der Menge fDt j t 2 T g erzeugten R-Untermodul von M .

Anmerkung 1.2 Die Eigenschaft, Derivation "uber P zu sein, bedeutet, dass die Derivation P -linear ist.

Anmerkung 1.3 (Quotientenregel) Ist D eine Derivation von R, r 2 R und t 2 R eine Einheit von R, dann gilt die "Quotientenregel": D i rt j = 1t2 \Delta  (t \Delta  Dr \Gamma  r \Delta  Dt)

Beweis: Wegen t\Delta  rt = r gilt auf Grund der Produktregel t\Delta D irt j+ rt \Delta D(t) = D(r). Da t Einheit ist, liefert die Multiplikation mit 1t die Behauptung. q.e.d.

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