Krullbewertungen

Karl Mathiak

TU Braunschweig 1994

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INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Geordnete Gruppen 3 2 Archimedisch geordnete Gruppen 7 3 Krullbewertungen 13 4 Primideale 20 5 Fortsetzungssatz f"ur Krullbewertungen 27

1 GEORDNETE GRUPPEN 3 1 Geordnete Gruppen Eine Gruppe G heisst eine geordnete Gruppe, wenn gilt:

1. G ist linear geordnet. 2. Aus a ^ b folgt ac ^ bc und ca ^ cb f"ur alle a; b; c 2 G.

Beispiele 1.) (IR; +), (IR+; \Delta ). Beide Gruppen sind isomorph: Die Abbildung

IR ! IR+ = fx 2 IR j x ? 0g ; x 7! ex ist ein ordnungserhaltender Isomorphismus.

2.) Lexikographische Anordnung: Seien G1; : : : ; Gn geordnete Gruppen und

G = G1 \Theta  : : : \Theta  Gn =

nY

i=1

Gi

ihr direktes Produkt. Durch

(a1; : : : ; an) ! (b1; : : : ; bn) ; falls es ein 1 ^ i ^ n mit

ai ! bi und aj = bj f"ur j ! i gibt, und komponentenweise Verkn"upfung wird G eine geordnete Gruppe.

3.) Nichtabelsche geordnete Gruppe: Sei

G = IR+ \Theta  IR = f(a; b) 2 IR2 j a ? 0g : Durch die Verkn"upfung