2025

2025 — это вполне себе обычное четырёхзначное целое нечётное положительное натуральное число. Сумма всех собственных делителей числа 2025 равна 1726, значит оно избыточное. Количество делителей у числа 2025 равно 15, а значит оно не простое.

Все делители числа: `1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025`

Факторизация числа: `2025 = 3*3*3*3*5*5 = 3^4*5^2`

Никаких особенных интересных свойств вроде бы не имеет, хотя можно заметить вот такие интересности:

• `20+25 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = sqrt(2025)`
• `2025 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3`

Некоторые нумерологи на основании вышеуказанных выражений пытаются разглядеть в числе 2025 некий глубинный смысл, но его нет :) Просто иногда в математике встречаются красивые выражения. Например, 111111111 * 111111111 = 12345678987654321.

Если дурная голова мозгам покоя не даёт, то можно придумать множество интересных математических задач, связанных с числом 2025. Например, как получить это число при помощи математических действий и последовательности одинаковых цифр? Или цифр 1234567890? Или как из числа 2025 получить любое число в диапазоне от 0 до 100? а до 200? Хорошая разминка для ума получится. Я вот поразминался, попробуйте и вы, наверняка у вас получится улучшить мои результаты и найти более интересные и короткие решения!

• `2025 = 1*2+345*6-7*8+9.0`

Как я уже говорил, можно придумать общую формулу для А ∈ [1;9]:

• `2025 = (bar(A A A A)-bar(A A A)+bar(A A)+A):A * (A+A):A + A:A = 1012*2+1`

то есть вот так:

• `2025 = (1111-111+11+1):1*(1+1):1+1:1 = 1012:1*2:1+1:1 = 1012*2+1`
• `2025 = (2222-222+22+2):2*(2+2):2+2:2 = 2024:2*4:2+2:2 = 1012*2+1`
• `2025 = (3333-333+33+3):3*(3+3):3+3:3 = 3039:3*6:3+3:3 = 1012*2+1`
• …
• `2025 = (9999-999+99+9):9*(9+9):9+9:9 = 9108:9*18:9+9:9 = 1012*2+1`

Причём эту формулу можно немного упрощать для отдельных случаев:

• `2025 = (1111-111+11+1)*(1+1)+1`
• `2025 = 2222-222+22+2+2:2`

А можно и вообще отойти от «стандартного» решения:

• `2025 = 5^5-555-555+5+5`
• `2025 = 4^6:2-3^3+4 = (0!+0!+0!+0!)^{0!+0!+0!+0!+0!+0!}:(0!+0!)-(0!+0!+0!)^{0!+0!+0!}+0!+0!+0!+0!`

Правила: используя любые математические действия, функции и преобразования, получить из последовательности цифр 2,0,2,5 выражение, значение которого точно равно числу слева. Не допускается явное использование каких-либо других цифр и чисел. Например, знак квадратного корня допустим, а вот кубический корень нет, так как в нём явно используется цифра 3. В крайнем случае допускается использование констант, например, e и π.

Помимо вполне обычных действий сложения (+), вычитания (-), умножения (·) и деления (:), функций квадратного корня `sqrt(N)`, натурального `ln(N)` и десятичного логарифма `log(N)` можно привлечь десятичную запятую/точку (.), инверсию знака (-), а также разные виды округления: обычное математическое `[N]`, вверх ` |~N~| ` и вниз `|__N__| ` (с отсечением дробной части). Ну и более сложные действия: возведение в степень `(x^y)`, обычный (!) и двойной факториалы (!!).

В этот раз для чисел от 0 до 100 мне удалось обойтись без привлечения констант, для некоторых чисел комбинации оказались слишком мудрёные, но попроще придумать не получилось. В идеале бы от тригонометрических функций вовсе отказаться и обойтись «степенными» и факториалами.

Вот использованные мною «заготовки»:

• `0! = 1`
• `2^0 = 1`
• `[sqrt(20)] = 4`
• `|~sqrt(20)~| = 5`
• `[sqrt(20)]!! = 4!! = 2*4 = 8`
• `20`
• `[sqrt(20)]! = 4! = 1*2*3*4 = 24`

• `2*5 = 10`
• `25`
• `2^5 = 32`
• `\ln(25!) ~= 58.0036 `

• `5!! = 1*3*5 = 15`
• `5! = 1*2*3*4*5 = 120`

И вот что получилось:

• `0 = 2*0*25`
• `1 = 2^(0^25)`
• `2 = 2+0*25`
• `3 = 2*0-2+5`
• `4 = 2^0-2+5`
• `5 = -20+25 = 20:2-5 = 20*.25`
• `6 = -2^0+2+5`
• `7 = 2*0+2+5`
• `8 = 2:0.25 = 20:2.5 = 2^0+2+5`
• `9 = 2+0+2+5 = (20-2)*.5`

• `10 = 2*0+2*5`
• `11 = 2^0+2*5`
• `12 = 2+0+2*5 = -20+2^5`
• `13 = 20-2-5`
• `14 = -2^0*2+5!! = [sqrt(202.5)]`
• `15 = 20:2+5`
• `16 = -2^0+2+5!!`
• `17 = 20+2-5`
• `18 = 2^0+2+5!! = [20-2.5]`
• `19 = 20-2*.5 = 2+0+2+5!!`

• `20 = 20_25 = [20+2:5] = 2+0!+2+5!!`
• `21 = |~20+2:5~|`
• `22 = [sqrt(20*25)]`
• `23 = 20-2+5 = [20+2.5]`
• `24 = -2^0+25`
• `25 = 2^0*25 = 2*0+25 = 20:2+5!! = 20+sqrt(25)`
• `26 = 2^0+25`
• `27 = 20+2+5 = 2+0+25`
• `28 = -2+0+2*5!!`
• `29 = -2^0+2*5!!`

• `30 = 20+2*5`
• `31 = -2^0+2^5`
• `32 = 2*0+2^5`
• `33 = 2^0+2^5 = 20-2+5!!`
• `34 = 2+0+2^5`
• `35 = 2 + 0! + 2^5`
• `36 = [sqrt(20)]+2^5`
• `37 = 20+2+5!!`
• `38 = [20*2-\sqrt5]`
• `39 = |__20*2-.5__| `

• `40 = [202:5]`
• `41 = |~202:5~|`
• `42 = [20*2+\sqrt5]`
• `43 = [sqrt(20)]!*2-5`
• `44 = |__20*2+ln5!__| `
• `45 = 20+25 = sqrt(2025)`
• `46 = [sqrt(20)]!*2-[\sqrt5]`
• `47 = [20*2*\ln5!!]`
• `48 = [sqrt(20)]!*2+[\cos5]` ← не нравится мне косинус
• `49 = [sqrt(20)]!+25`

• `50 = 20*2.5`
• `51 = 20*2+[sqrt(5!)]`
• `52 = 20+2^5`
• `53 = [sqrt(20)]!*2+5`
• `54 = [sqrt(20)]!+2*5!!`
• `55 = 20*2+5!!`
• `56 = [sqrt(20)]!+2^5`
• `57 = [202*\cos5]` ← не нравится мне косинус
• `58 = [([sqrt(20)]!+2)*\sqrt5]`
• `59 = |__(20+2)*\ln5!!__| `

• `60 = (2+0+2)*5!! = 2^0:2*5! = [sqrt(20)]!*2.5`
• `61 = 2+0!+[ln(25!)]`
• `62 = [\sqrt20 + ln(25!)]`
• `63 = [20*sqrt(2*5)]`
• `64 = (2+0)*2^5`
• `65 = 20*2+25`
• `66 = [20*2.5!]`
• `67 = |~20*2.5!~|`
• `68 = |~sqrt(20,2)*5!!~|`
• `69 = [20*\ln(2^5)]`

• `70 = [sqrt(202)]*5`
• `71 = [sqrt(202)*5]`
• `72 = |~sqrt(202)*5~|`
• `73 = [\arctan2°+2*5]`
• `74 = |__\ln20*25__| = [\cosh(20-25)] `
• `75 = (2+0!)*25`
• `76 = [20-2+ln(25!)]`
• `77 = [sqrt(20^2*5!!)] = [[sqrt(20)]!*\ln25]`
• `78 = [20.2*\sqrt(5!!)]`
• `79 = ` `|__\ln202*5!!__| ``=|~20.2*\sqrt(5!!)~|`

• `80 = 20^2:5 = -20*2+5!`
• `81 = 20+2+|~\ln(25!)~|`
• `82 = 202-5!`
• `83 = [[sqrt(20)]!*\ln(2^5)]`
• `84 = |~[sqrt(20)]!*\ln(2^5)~|`
• `85 = [(20+2)*sqrt(5!!)]`
• `86 = |~(20+2)*sqrt(5!!)~|`
• `87 = |~(20-2)*\ln5!~|`
• `88 = |~sqrt(20)~|!-2^5`
• `89 = [20*2*\sqrt5]`

• `90 = (2+0!)*2*5!!`
• `91 = [log(sqrt(20!))+\ln(2^5!)]` ← другого не придумал
• `92 = |~log(sqrt(20!))~|+[\ln(2^5!)]` ← другого не придумал
• `93 = -[\ln(sqrt(([sqrt(20.2)]!)!))]+5! ` ← слишком сложно, но другого не придумал
• `94 = -[sqrt(20)]!-2+5! = [20*2^(sqrt(5))]`
• `95 = |~sqrt(20)~|!-25`
• `96 = [\ln20*2^5]`
• `97 = [20.2*\ln5!]`
• `98 = -20-2+5!`
• `99 = -20-[\sqrt2]+5!`

Можно, конечно, продолжать и далее… Например, …

• `100 = 20*sqrt(25)`
• `101 = 20.2*5 = 202*.5`
• `102 = -20+2+5!`
• `103 = |~sqrt(20)~|!-2-5!!`
• `104 = |~sqrt(20)~|!-[sqrt(2)]-5!!`
• `105 = |~sqrt(20)~|!+[.2]-5!!`
• `106 = |~sqrt(20)~|!+[sqrt(2)]-5!! = [ln(20!)*2,5]`
• `107 = |~sqrt(20)~|!+2-5!!`
• `108 = `
• `109 = |__20:2*sqrt(5!)__| `

• `110 = -20:2+5!`
• `111 = |__sqrt(20)*25__| `
• `112 = -(2+0+2)!!+5! = [sqrt(20)*25]`
• `113 = `
• `114 = `
• `115 = 20: .2+5!! = |~sqrt(20)~|!-sqrt(25)`
• `116 = (2+0)*[ln25!]`
• `117 = `
• `118 = `
• `119 = `

• `120 = 2+0-2+5!`
• `121 = |__2-0.2__|+5! `
• `122 = [2.02]+5!`
• `123 = |~2.02~|+5! = |~sqrt(20)~|!-2+5`
• `124 = 2+0+2+5!`
• `125 = |~sqrt(20)~|!+[.2]+5`
• `126 = |~sqrt(20)~|!+|~.2~|+5`
• `127 = |~sqrt(20)~|!+2+5`
• `128 = (2+0+2)!!+5!`
• `129 = `

• `130 = 20:2+5!`
• `131 = `
• `132 = `
• `133 = |~sqrt(20)~|!-2+5!!`
• `134 = [sqrt(202)]+5!`
• `135 = |~sqrt(20+2)~|!+5!!`
• `136 = |~sqrt(20)~|!+|~.2~|+5!!`
• `137 = |~sqrt(20)~|!+2+5!!`
• `138 = 20-2+5!`
• `139 = |__20-.2__|+5! `

• `140 = [20.2]+5!`
• `141 = |~20.2+5!~|`
• `142 = 20+2+5!`
• `143 = `
• `144 = (2+0+2)!+5!`
• `145 = |~sqrt(20)~|!+25`
• `146 = |__ln20!*ln2^5__| `
• `147 = [ln(20!)*ln(2^5)]`
• `148 = `
• `149 = `

• `150 = |~sqrt(20)~|!+2*5!!`
• `151 = `
• `152 = |~sqrt(20)~|!+2^5`
• `153 = `
• `154 = `
• `155 = |__log(20-.2)*5!__| `
• `156 = |__log(20.2)*5!__| ``
• `157 = `
• `158 = `
• `159 = `

• `160 = 20*2+5!`
• `161 = `
• `162 = `
• `163 = |__|~sqrt(20)~|!*2^sqrt(5)__| `
• `164 = [|~sqrt(20)~|!*2^sqrt(5)]`
• `165 = [|~sqrt(20)~|!*sqrt(2)-5]`
• `166 = `
• `167 = `
• `168 = `
• `169 = [ln20!: .25]`

• `170 = |__sqrt(2.02)*5!__| `
• `171 = [sqrt(2.02)*5!]`
• `172 = `
• `173 = `
• `174 = |__|~sqrt(20)~|!*sqrt(2)+5__| ` = `(2+0!)*[ln25!]`
• `175 = [|~sqrt(20)~|!*sqrt(2)+5]`
• `176 = `
• `177 = `
• `178 = |__20^2:sqrt(5)__| `
• `179 = [202*.5!]`

• `180 = `
• `181 = `
• `182 = `
• `183 = `
• `184 = `
• `185 = `
• `186 = `
• `187 = 202-5!!`
• `188 = `
• `189 = `

• `190 = `
• `191 = `
• `192 = `
• `193 = `
• `194 = `
• `195 = `
• `196 = `
• `197 = 202-5`
• `198 = `
• `199 = |__202-sqrt(5)__| `

• `200 = 20*2*5`
• `280 = 20^2-5!`
• `315 = (20+0!)*5!!`
• `322 = 202+5!`
• `500 = 20*25`
• `600 = 20*2*5!!`

Наверное, если привлечь к этому ИИ, то он понаходит множество других интересных решений. Но я пользовался исключительно своим естественным интеллектом и калькулятором. И ручкой с бумажкой :)

А можно задаться вопросом, какое самое большое число можно получить из цифр 2,0,2,5?

• `20*25 = 500`
• `202*5 = 1010`
• `2025 = 2025`
• `202*5!! = 3030`
• `20^2*5!! = 6000`
• `202*5! = 24 240`
• `20^2*5! = 48 000`
• `20*2^(5!!) = 655 360`
• `202^5 = 336 323 216 032`
• `20+25!! = 7 905 853 580 645`
• `20^25 = 335 544 320 000 000 000 000 000 000 000 000`

Теперь привлекаем факториалы и комбинаторику:

• число сочетаний `C_25^20 = \frac{25!}{(25-20)!\cdot 20!} = \frac{25!}{5!\cdot 20!} = frac{15 511 210 043 330 985 984 000 000}{120\cdot 2 432 902 008 176 640 000} = 53 130`
• число размещений `A_25^20 = \frac{25!}{(25-20)!} = \frac{25!}{5!} = \frac{15 511 210 043 330 985 984 000 000}{120} = 129 260 083 694 424 883 200 000`

• `20!*25! = 2432902008176640000*15511210043330985984000000 = 37737254063669622951147441236213760000000000`
• `202^(5!) = 202^120 =`

  4386966657188955231665649501027102157612398591671448697557852778238465427353895292457833125585440830873485462229156845041488229628593719425977833668851391687476940977786686917795008464839786985797643438351093929636974837516861469830003461457242937218607555544787823222981656576

Двойной факториал содержит 2910 цифр результата:

• `2025!! = 1*3*5*7*9*…*2021*2023*2025 = `

  685394671954530455753377772714291720706156038903482669147654333133475189865653099530067889393894460910832316116901734166428943109979238373102651861553497615955525177308050346580762152240684615259981502324938481108806886477246542957819239994834154823274829901301532880501363870293981308554753959885709968899170391521024185981503786539358067214558881331142916595258141679223476621165247244059573356207092232426797717143089455873127229557846611061172916672576716865565036209224462023020313399615926060591990999113777765037690160120330786111843309273648702896567756053889177107123067720212828897581814356719897762411176559860220551096315668782838215135780276672966320815815847582757491710792818016150778524931760583993060563431357023535415112906408761794222482608952698438325376388559741862955429712587553022346297957425933637293775453685367024721805381462637295086154813146574356328097771009309818517761292160095308365701709307359395327369552807121414296459106602914069959319419890550685866731351920296192532114003124412259357673409360091489439372966394783911047134597096940309763661895816237354770430029927687206680679918600519005652482210091446202686911930531079812436560076726283997412014781540424771114932289872329380409683042286659385893694660789019249289062550925306531032311690809671877125996214994863600490003815835031212273062857626058956368819185802687088050977908702496331130650772521000348298429048540423841094971764335376309259251862206469502835699176823118413021426334329055893383190606193030730456117070379776726826734894680930217384566256709940595848604539333931707302466854333529284799487947981386524658911188644576918437546943011266995567627619907671130738813978228248897728561789734631515485698443028919523611665684568509874761530126942552238695816396103943022836273912104753974297379501112953215022135579429988214698298180156088929688011060548514777688725192244508965208673415614587067732565054034770056314038983006465647121450221465140430970897489514290472969093708305135181018273670656521914331016252831927129472856798922576909037142748796342410072164643384552250967325551147511251181334637533207521405070558937613754871951412874956248862965118284284212447877076584598364841674351043731287477483142661543116838240631596781235188241676102267460458795888374605963753396174499112149951982816476933546003006690208962197788366042058872598995815907694906930476754812138440785028502328241658337833630795175514784713312075647229660772429475216995638433976614519062139869785367570064631215931958195388249769166263331757767114511037802054587520287016242905916207777132151682587340353466927994267461410212375505683302077498227520871861275296625990947993948527886197187045633890233291314364115174909046225484910272385478363111534747744514113578310631997835082761300667367948163973745804590904918949190912172580833556237039583397846982459473549393590454184904876312744992361558615812100470066070556640625

Ну а в полном факториале в два раза больше цифр - 5819:

• `2025! = 1*2*3*4*5*…*2022*2023*2024*2025 =`

  13082033478585225956056333208054576745409436178226342908066265566934614672842161048304768562947313435389842049149535921090512687475188845950481368402436444804007734225703575500327336811537670190540034537231636693839145971463875771016113794100905049942366677141759676424283214208772398352253862399075809896854471602760838622772525181979549290936932940921979559250982223468099574333899135034765980981077568062106227769465285984389474844862019289187129392239342484946229074983744167803649274348715287487829533964691017070965513283663606106812428993495619076086224947686918393208549192435223921866339416300875558457504592256237268486721674507381347194656886167348052784210624808070267003883372515441581683700853425257202924499386551871205396302529013529128818001970756246384209290762003603135011921122344529842666094323476265918070749834884276245039438646092504241147773177261824745390122050610211867889490106883769206943537169643722601497304704038464903932759366813704505680966098392554275015587958310623666048487185111155223176837472166075774650921113813721156120157211082655949936213901087983159094464770015354317655566262477578745491010205220411502999603396399382043413258874985087692228173904721628577170442861451468392721637744119467384687250905783398595706202578674022303778107914577005193768796610652313464937160788215475269182396286668979624375583971331742549459009693122791238608906943620686969928985528703697583076301708353568200723067667761366415684814251804758361904610633196231078296158451244581072015355510360625579630747872655155993417793876610159791350706056085489620234463454571826799111678580195263031608974870904177074721377432775651262476648853981198254891302503620333271812634107189394365535565481055170284299030164140757278391560253757591204388378183481011158489876764602389234087507481049179834503697867206994325976870325114852729009846534387155161704406253473325641668942516261735855483570089318699014945729809748871428700322769763306721035154223683593192717642702469478783326125037341834580680776570299113669636955983305462692518650396394314764872708466269496680447944712121316873046798676087404979258644469095797420201507318430142710699670552464450047297868913490696249973331677229945580636518723384709252848727607384151358321476400473377068677159420140232594322647811119204965653790398303986040127552813939369454118213126387180166895368914220580132000785602390824620093551604060696648269931104988128593975721996043636639530757887017516286280972781201882582840066622108453699873383660624823827501393379510711667786159802467430694509596492042513359593235290301934482978615511668331559287809596932401347245270170044040508026559850579652635480035731262128939250523229587323247457446126502445031865948757690486466731228289915310535301894506628079317265110072901464390485532354514230446682747498044871877407216528458781957724140384263024222024277506804745244895320982295682248565468780004852700379609109107921425498612481277147277994049308654810186676821755314397431229309965516685736055042381714415855930187791830796390535903426989886286229891912900630871614648779811122224874801662389361394358597760922386229416231490821331112745502862654645298514994669053597412959637081156234018562462764334372648914330560478155694625389878936351659106100437373322758559543245639018054151540648297052123643302469840310880423375747972177861576491434183956736888218794437734198419939561156463332477624322634774406732956234100885348827974564158815294722560754878851806952146421378056418524474573604202472348494562439349368016015278198417740116591010305332017410589743410884568763232877190131575399380354884519181501078916818425628761563321061162101763103922493485293139379662488459409698111812594251856668085292481319934435157411500716277076165240919007960702508979683155601314456397782220991344172814146922393983152337759429806174455814660565983985778498861454009592682976510775393071558722536639602310064262780447735236115652727962273115371447987075802342423571913339954442421012871662799796682098789586059202851736812143237231059785820542682887751873072445432394574196978415105709996742238037619548082889162799891245663009197049924661282762569969722926367887975657460019572668765095109563447141092044568474402198612685086828173035004652627111544505845433587174411475006611708349224192600297549625499632071499364557148750680697470361638236526372960073052409543309005572405721543763002596901015692334783479978233169944518303522512583626590297940380878303262810900403721533844234692714996392449599149515822810720755515210482649345388444574637992959573264539792915685647330809794453067263058850988094369743046708835433737912505344918655257867807878269044627165397017268861456554590512351597973167228542255875539028675550185456661877636740078429314852258047233008436998727477103636545217821357950020128993239371033495368348936467887434791085592468580470950528313929634178009288170244937842576943422768995239455653220757432097648173089199565589033553083969395368907072010953579981505504548317859212308094947926996865719148417010517453197981105625176439706036094938299976908237525311664241798808293564863107878538007119419612538964901063230138533990422480388552239672076134411478855526934092859755290315787934392495815045274101837805627599849339238213411962451540426359606325558844828045693425748466359977002737336320000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Наверное, можно получить и ещё большие значения.

• `20^(25!) = 20^15511210043330985984000000 = ?` ни один онлайн-калькулятор по работе с большими числами не смог посчитать, говорят, в результате больше 10000 цифр.
• `20^(2^(5!)) = 20^(2^120) = 20^1329227995784915872903807060280344576 = ?` а это число, судя по всему, ещё больше.

• `20:2.5 = 8`
• `2.025 = 2.025`
• `20:25! = 20:15511210043330985984000000 = 0.000000000000000000000001289`
• `2*0*25 = 0`

• `2025_10 = 11111101001_2`
• `2025_10 = 2210000_3`
• `2025_10 = 133221_4`
• `2025_10 = 31100_5`
• `2025_10 = 13213_6`
• `2025_10 = 5622_7`
• `2025_10 = 3751_8`
• `2025_10 = 2700_9`
• `2025_10 = 2025_10`
• `2025_10 = 1581_11`
• `2025_10 = 1209_12`
• `2025_10 = BCA_13`
• `2025_10 = A49_14`
• `2025_10 = 900_15`
• `2025_10 = 7E9_16`

• `2025_10 = 360_25`
• `2025_16 = 8229_10`

• `202_5 = 52`
• `20_25 = 20`

• `2^(0^(2^5)) = 1`

• http://nzdr.ru/creation/prograf/hny#na_2025_god - Производственный календарь